System równomiernie temperowany

Definicja 6 (System równomiernie temperowany)  

System równomiernie temperowany to przyjęty w muzyce europejskiej podział oktawy na dwanaście odcinków równych w mierze oktawowej. Jeden taki odcinek, równy $\frac{1}{12}$  oktawy, nazywamy półtonem.

System równomiernie temperowany został stworzony przez J. Neidhardta (1706 i 1724) w oparciu o prace Werckmeistra [8, str. 897].

Ukoronowaniem wprowadzenia systemu równomiernie temperowanego było opublikowanie przez Jana Sebastiana Bacha ,,Das Wohltemperierte Klavier''[3], czyli zbioru 48 preludiów i fug, we wszystkich tonacjach durowych i molowych. Potrzeba systemu temperowanego wypłynęła z praktyki muzycznej. Bez systemu równomiernie temperowanego niego nie dało się tak nastroić klawesynu (ani żadnego innego instrumentu) tak, żeby można było grać czysto w dowolnej tonacji. Instrument albo był nastrojony do C-dur albo do A$\flat$ -dur. Jeżeli było trzeba zagrać na koncercie jeden utwór w C-dur i drugi w A$\flat$ -dur, to przygotowywano dwa, odpowiednio nastrojone klawesyny. Po wprowadzeniu systemu temperowanego wystarczył jeden klawesyn.

Definicja 7 (Znaki chromatyczne)  

Znaki chromatyczne są to oznaczenia wskazujące na zmianę wysokości dźwięku.

1. Krzyżyk $(\sharp)$ wskazuje na podwyższenie dźwięku o jeden półton.

2. Bemol $(\flat)$ wskazuje na obniżenie dźwięku o jeden półton.

3. Kasownik $(\natural)$ wskazuje na przywrócenie naturalnej wysokości dźwięku, czyli anulowanie działania chromatycznych znaków przykluczowych lub znajdujących się wcześniej w takcie.

Zbiór znaków chromatycznych oznaczymy w następujący sposób:

$$\Delta = \{ \sharp, \flat, \natural\}$$ (1.2)

Kasowniki spotyka się głównie w zapisie nutowym, w zapisie harmonicznym najczęściej nie są potrzebne.

W zapisie nutowym znaki chromatyczne stawia się przed nutami, natomiast w zapisie harmonicznym - za literowymi nazwami dźwięków.

Definicja 8 (Nazwy literowe dźwięków)   Nazwy literowe to taki zbiór $\Psi$ , że

$$\Psi = \{A, B, C, D, E, F, G\}$$ (1.3)

Definicja 9 (Pełna przestrzeń nazw dźwięków)  

Pełna przestrzeń nazw dźwięków to zbiór wszystkich możliwych nazw dźwięków.

Innymi słowy, jest to następujący iloczyn kartezjański:

$$\Omega = \Psi \times \mathbb{Z} \times \Delta \times \Big(\mathbb{N} \cup \{0\}\Big)$$ (1.4)

To oznacza, że $\Omega$ jest to zbiór wszystkich możliwych nazw literowych ($\Psi$ ), we wszystkich oktawach ( $\mathbb{Z}$ ), z wszystkimi możliwymi liczbami ( $\mathbb{N} \cup \{0\}$ ) wszystkich znaków chromatycznych ($\Delta$ ).

Definicja 10 (Przestrzeń naturalnych nazw dźwięków)  

Przestrzeń naturalnych nazw dźwięków to podzbiór pełnej przestrzeni dźwięków składający się z tych jej elementów, które mają $n = 0$ , czyli innymi słowy jest to zbiór dźwięków bez znaków chromatycznych.

$$\Omega_{N} = \Psi \times \mathbb{Z} \times \Delta \times \{0\}$$ (1.5)

Definicja 11 (Przestrzeń nazw dźwięków bez oktawy)  

$$\Omega_{O} = \Psi \times \Delta \times \Big( \mathbb{N} \cup \{0\} \Big)$$ (1.6)

Definicja 12 (Dźwięk (w rozumieniu harmonii))  

Dźwięk (w rozumieniu harmonii)^1.1 oznaczany symbolem $\omega$ to element zbioru $\Omega$ , czyli

$$\omega \in \Omega$$ (1.7)

W takim razie $\omega$ to czwórka uporządkowana:

$$\omega = (\psi, k, \delta, n)$$ (1.8)

gdzie

$$\psi \in \Psi, k~\in \mathbb{Z}, \delta \in \Delta, n~\in \mathbb{N} \cup \lbrace 0 \rbrace$$ (1.9)

czyli

$\psi$

to litera ze zbioru $\Psi = \{A, B, C, D, E, F, G\}$ ^1.2

$k$

to liczba całkowita $(k \in \mathbb{Z})$ , oznaczająca numer oktawy w której znajduje się dźwięk

$\delta$

to symbol znaku przykluczowego, jeden ze zbioru $\Delta = \{\sharp, \flat, \natural\}$

$n$

to liczba naturalna lub zero $(m \in \mathbb{N} \cup \{0\})$ , określająca liczbę znaków przykluczowych

Dźwięki (w rozumieniu harmonii) oznaczamy w następujący sposób:

1. Dla dźwięków bez znaków chromatycznych $(k = 0)$

   $$\psi_\delta$$ (1.10)

   
   

2. Dla dźwięków ze znakami chromatycznymi $(k > 0)$

$${\psi\underbrace{\delta\delta\delta\ldots \delta}_n}{}_k$$ (1.11)

W dalszej części dokumentu dźwięki w rozumieniu harmonii będziemy albo specjalnie opisywać w nawiasach albo nazywać po prostu ,,dźwiękami''.

Klika przykładów

$$C\sharp_4 \quad D\flat\flat_2 \quad G\sharp\sharp_3$$ (1.12)

Istnieją znaki którymi można oznaczyć dwa krzyżyki lub dwa bemole, ale nie są tutaj dla nas istotne.

Dla każdego dźwięku można określić jego częstotliwość. Może się przy tym zdarzyć tak, że dwa różne dźwięki będą miały tą samą częstotliwość, na przykład $C\sharp$ i $D\flat$ .

Mówi się też o dźwiękach bez specyfikowania oktawy, wtedy przez na przykład $A$ możemy rozumieć $A$ z dowolnej oktawy.

Definicja 13 (Wysokość dźwięku)   Wysokość dźwięku $\omega$ oznaczamy przez $\Theta(\omega)$ . $\Theta$ jest wyrażany w Hz (hercach).

Definicja 14 ($A_4$ )   ,,$A_4$ '' to dźwięk o częstotliwości 440Hz

$$\Theta(A_4) \mathop=^{\mathrm{def.}} 440\mathrm{Hz}$$ (1.13)

$A_4$ zostało mianowane punktem odniesienia, i ściśle określa umiejscowienie dźwięków na skali częstotliwości, ponieważ pozostałe dźwięki definiuje się poprzez odniesienie do $A_4$ . W Polsce często jest określane nazwą ,,a razkreślne''.

Definicja 15 (Częstotliwości dźwięków)   Częstotliwości pozostałych dźwięków określone są następująco:

$\Theta(C_n) = \Theta(A_n) \cdot 2^{\frac{-9}{12}}$	($-9$ półtonów)
$\Theta(D_n) = \Theta(A_n) \cdot 2^{\frac{-7}{12}}$	($-7$ półtonów)
$\Theta(E_n) = \Theta(A_n) \cdot 2^{\frac{-5}{12}}$	($-5$ półtonów)
$\Theta(F_n) = \Theta(A_n) \cdot 2^{\frac{-4}{12}}$	($-4$ półtony)
$\Theta(G_n) = \Theta(A_n) \cdot 2^{\frac{-3}{12}}$	($-2$ półtony)
$\Theta(A_n) = \Theta(A_4) \cdot 2^{n-4}$	(z definicji)
$\Theta(B_n) = \Theta(A_n) \cdot 2^{\frac{2}{12}}$	($2$ półtony)

W ten sposób możemy opisać przy pomocy liter siedem podstawowych dźwięków. Brakuje nam jednak nazw dla pozostałych czterech możliwych do uzyskania dźwięków. Nie mają one nazw literowych, ale uzyskujemy je w sposób pośredni, używając znaków chromatycznych.

Na przykład F$\sharp$ to ,,F plus jeden półton''. Albo G$\flat$ to ,,G minus jeden półton''. Akurat tak się ciekawie składa że F$\sharp$ i G$\flat$ mają tą samą częstotliwość bazową. Istnieją również podwójne krzyżyki i podwójne bemole.

Definicja 16 (Interwał)   Interwał to odległość pomiędzy dwoma dźwiękami, wyrażona nazwą.

Nazwa składa się z dwóch części: Liczby stopni licząc od podstawy ($\sigma$ ) i rozmiaru interwału, czyli liczby półtonów ($\alpha$ ).

Interwał to para uporządkowana $\nu = (\sigma, \alpha)$ .

Własności interwału:

1. Mając dane dwa dźwięki, możemy jednoznacznie określić interwał pomiędzy nimi.

2. Znając dźwięk, interwał i kierunek jesteśmy w stanie jednoznacznie określić drugi dźwięk.

3. Znając liczbę półtonów nie jesteśmy w stanie (sic!) jednoznacznie powiedzieć, jaki to interwał. W praktyce muzycznej czasami mówi się że ,,trzy półtony to tercja mała'', ale z punktu widzenia teorii takie stwierdzenie jest fałszywe. Co prawda ,,tercja mała ma trzy półtony'', ale to działa tylko w jedną stronę. Jest więcej (nieskończoność) interwałów, które mają trzy półtony.

   Innymi słowy, tercja mała ma trzy półtony, ale trzy półtony nie są tercją małą.

Aby określić interwał pomiędzy dźwiękami $X$ i $Y$ należy wykonać następujące operacje:

1. Na chwilę usunąć znaki chromatyczne ($n = 0$ ) i policzyć, ile kroków po elementach przestrzeni naturalnych nazw dźwięków trzeba przejść, aby dotrzeć od $X$ do $Y$ . Liczba ta będzie się nazywać liczbą stopni gamy diatonicznej.

2. Na podstawie tej liczby określić nazwę interwału (pryma, sekunda, tercja itd.) według rysunku (strona ).

   Rysunek: Podstawowe nazwy interwałów

   

3. Określić liczbę półtonów, dzielącą dźwięki $X$ i $Y$ . Jeżeli liczba półtonów przekracza dwanaście, należy podzielić ją modulo przez dwanaście, to znaczy wziąć resztę z dzielenia jej przez dwanaście. Na podstawie tej liczby określić rodzaj interwału według rysunku (strona ). Jeżeli nie możemy znaleźć naszego interwału w tej tabeli, to oznacza że trafiliśmy na interwał, który nie ma nazwy. W praktyce muzycznej jest to niemal niemożliwe.

   Rysunek: Liczby półtonów i nazwy interwałów

   

Można też mówić o interwale w oderwaniu od dźwięków. Tak dzieje się na przykład przy definiowaniu skali jako listy odległości w półtonach. Odległości te w praktyce muzycznej są wyrażane nazwami interwałów o odpowiadających liczbach półtonów. Na przykład odległość trzech półtonów jest przez muzyków nazywana tercją małą. Oczywiście, mogłaby być równie dobrze (z punktu widzenia teorii) nazwa np. sekundą zwiększoną, ale żaden normalny muzyk tego nie robi (chyba że się wygłupia).